Ratgeber / Mathematik

Potenzfunktionen und ganzrationale Funktionen ableiten

Bisher hast du Tangentensteigungen über Sekanten und einen Grenzwert bestimmt. Für Potenzen wie $x^4$ oder $x^{-2}$ gibt es feste Regeln, mit denen du die Ableitung in einer Zeile hinschreibst. Eine ganzrationale Funktion ist eine Summe solcher Potenzen mit Zahlen davor, etwa $3x^2 - 5x + 1$ .

Wozu du das brauchst

Ein Stein fällt und ist nach $t$ Sekunden $5t^2$ Meter tief gefallen. Die Ableitung $10t$ sagt dir, dass er nach 2 Sekunden 20 m je Sekunde schnell ist.

Merke

Bei $x^n$ kommt der Exponent als Faktor nach vorn und wird um eins kleiner: $(x^n)' = n \cdot x^{n-1}$ . Das gilt auch für negative Exponenten. Eine Zahl vor der Potenz wird mit diesem Faktor malgenommen, jeder Summand wird für sich abgeleitet, und eine Konstante fällt weg. Einen Bruch wie $\frac{3}{x^2}$ schreibst du vorher als $3x^{-2}$ . Etwa wird aus $f(x) = 2x^3 - 7x + \frac{3}{x^2} + 4$ die Ableitung $f'(x) = 6x^2 - 7 - 6x^{-3}$ .

Ein Beispiel Schritt für Schritt

Leite $f$ ab. Gib nur den Term von $f'(x)$ ein, ohne „f'(x) =“. Potenzen schreibst du mit ^, etwa x^3 oder x^(-2), Brüche mit /, etwa 4/x^2.

$f(x) = 3x^5 + \frac{8}{x^3} + 4$

Jeden Bruch als Potenz mit negativem Exponenten schreiben: $\frac{8}{x^3} = 8x^{-3}$ , also $f(x) = 3x^5 + 8x^{-3} + 4$
Summand für Summand ableiten (Summenregel); ein Faktor vor der Potenz bleibt als Faktor stehen (Faktorregel).
Potenzregel: die Ableitung von $x^n$ ist $n \cdot x^{n-1}$ , auch für negatives $n$ . Die Konstante $4$ hat die Ableitung $0$ .
$f'(x) = 15x^4 - 24x^{-4} = 15x^4 - \frac{24}{x^4}$

Typische Denkfehler

Diese Denkfehler erkennt die App bei der Aufgabe oben — und so erklärt sie sie.

Ein typischer Fehler

Bei $3x^{-2}$ den Exponenten auf $-1$ setzen, weil das nach „eins weniger“ aussieht. Aber $-1$ ist größer als $-2$ ; um eins kleiner heißt $-2 - 1 = -3$ , also wird daraus $-6x^{-3}$ .

Den Exponenten nicht verringert

Beim Ableiten kommt der Exponent als Faktor nach vorn und wird um eins kleiner: aus $3x^5$ wird $15x^4$ . In deinem Term behält jeder Summand seinen alten Exponenten, etwa $15x^5$ .

Den Exponenten nicht als Faktor genommen

Aus $3x^5$ wird $15x^4$ , denn der Exponent $5$ kommt als Faktor nach vorn, bevor er um eins kleiner wird. Nur den Exponenten zu verringern ergibt $3x^4$ , und dort fehlt der Faktor $5$ .

Den negativen Exponenten erhöht statt verringert

Auch ein negativer Exponent wird um eins verringert: $-3 - 1 = -4$ . Aus $\frac{8}{x^3} = 8x^{-3}$ wird deshalb $-24x^{-4}$ . Der Exponent $-2$ wäre um eins größer — bei negativen Zahlen liegt „kleiner“ weiter von null weg.

Die Konstante stehen gelassen

Die Konstante $4$ ändert sich nicht, wenn sich $x$ ändert: der Graph von $y = 4$ ist waagerecht, seine Steigung überall null. In $f'(x)$ fällt sie deshalb weg.