Ratgeber / Mathematik

Satz des Pythagoras

Manche Dreiecke haben einen rechten Winkel, also eine Ecke von 90°. Bei ihnen kannst du die dritte Seite ausrechnen, wenn du zwei Seiten kennst. Die längste Seite liegt der rechten Ecke gegenüber und heißt Hypotenuse c, die beiden anderen heißen Katheten a und b.

Wozu du das brauchst

Eine Leiter steht unten 3 m von der Hauswand entfernt und soll oben 4 m hoch reichen. So rechnest du aus, dass sie genau 5 m lang sein muss.

Merke

Nimm jede Kathete mal sich selbst und zähle beides zusammen. Das ergibt die Hypotenuse mal sich selbst: $6 \cdot 6 + 8 \cdot 8 = 100$ . Dann suchst du die Zahl, die mit sich selbst malgenommen 100 ergibt, also 10. Ist eine Kathete gesucht, ziehst du ab statt zusammenzuzählen. Als Formel: $a^2 + b^2 = c^2$ .

Ein Beispiel Schritt für Schritt

Ein Dreieck hat bei C einen rechten Winkel. Berechne die Länge der Hypotenuse c, der Seite gegenüber dem rechten Winkel.

$a = 21\,\text{m}, \quad b = 72\,\text{m}, \quad c = {?}$

$c \cdot c = a \cdot a + b \cdot b$
$c \cdot c = 21 \cdot 21 + 72 \cdot 72 = 441 + 5184 = 5625$
Gesucht ist die Zahl, die mit sich selbst malgenommen $5625$ ergibt: $75 \cdot 75 = 5625$ .
$c = 75$ m

Typische Denkfehler

Diese Denkfehler erkennt die App bei der Aufgabe oben — und so erklärt sie sie.

Ein typischer Fehler

Die Seiten einfach zusammenzählen: aus 6 und 8 wird nicht 14. Zusammengezählt werden die Seiten mal sich selbst, also 36 und 64.

Die Seiten addiert statt ihre Quadrate

Du hast $21 + 72$ gerechnet. Der Satz des Pythagoras addiert aber die Quadrate der Katheten: $21 \cdot 21 + 72 \cdot 72$ . Zur Probe: der Weg über die Ecke ist immer länger als der direkte — $c$ muss kleiner als $93$ sein.

Beim Quadrat stehen geblieben

Bis hierher stimmt alles: $21 \cdot 21 + 72 \cdot 72 = 5625$ . Das ist aber $c \cdot c$ und noch nicht $c$ . Es fehlt der letzte Schritt: welche Zahl ergibt mit sich selbst malgenommen $5625$ ?